[FR] La trace des endomorphismes
Le déterminant des endomorphismes est parfois introduit par une propriété indépendante du choix d’une base : soit \(V\) un espace vectoriel de dimension \(n\), alors l’espace \(\mathrm{Alt}^n(V)\) des formes \(n\)-linéaires alternées est une droite vectorielle. En effet, si \(f \in \mathrm{Alt}^n(V)\), \((e_1, \ldots, e_n)\) est une base de \(V\) et \(x_1, \ldots, x_n \in V\), on écrit
\[x_j = \sum \limits_{i=1}^{n} x_{j}^{i} e_i.\]Un calcul faisant intervenir le caractère multilinéaire et alterné de \(f\) montre que
\[f(x_1, \ldots, x_n) = \Big( \sum \limits_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod \limits_{j=1}^{n} x_{j}^{\sigma(j)} \Big) f(e_1, \ldots, e_n).\]Ainsi, une forme \(n\)-linéaire alternée est entièrement déterminée par sa valeur sur une base. L’espace \(\mathrm{Alt}^n(V)\) est donc de dimension \(1\). Cette observation permet de définir le déterminant sans partir des matrices. Si \(u \in \mathrm{End}(V)\), alors \(u\) agit naturellement sur \(\mathrm{Alt}^n(V)\) via
\[u \cdot f : (x_1, \ldots, x_n) \in V^n \longmapsto f \big( u(x_1), \ldots, u(x_n) \big)\]Comme \(\mathrm{Alt}^n(V)\) est une droite, cette action est la multiplication par un scalaire : ce scalaire est le déterminant de \(u\).
L’objectif de ce billet est de proposer une construction analogue pour la trace. Là encore, on veut éviter de définir d’abord la trace comme la somme des coefficients diagonaux d’une matrice, puis de démontrer ensuite que cette somme ne dépend pas du choix de la base. Nous allons montrer que la trace peut être définie de façon plus intrinsèque.
Comme forme linéaire cyclique
On note \({\mathcal T}(V)\) l’ensemble des formes linéaires \(\tau\) sur \(\mathrm{End}(V)\) telles que
\[\forall u,v \in \mathrm{End}(V), \qquad \tau(uv) = \tau(vu).\]L’analogie du fait que \(\mathrm{Alt}^n(V)\) est une droite est alors : \({\mathcal T}(V)\) est une droite vectorielle de \(\mathrm{End}(V)^*\). On peut alors définir la trace comme l’unique élément de \({\mathcal T}(V)\) normalisé par \(1\) sur les projecteurs de rang \(1\).
Proposition. \({\mathcal T}(V)\) est une droite vectorielle.
Démonstration. Soit \((e_1, \ldots, e_n)\) une base de \(V\). Pour \(i,j\), on définit \(E_{i,j}\) l’endomorphisme définit par \(E_{i,j}(e_k) = \delta_{k,j} e_i\) qui forment une base de \(\mathrm{End}(V)\). On a la relation
\[E_{i,j} E_{k,\ell} = \delta_{j,k} E_{i,\ell}.\]En particulier, si \(i \neq j\), on a \(E_{i,i} E_{i,j} = E_{i,j}\), mais \(E_{i,j} E_{i,i} = 0\). Donc, si \(\tau \in {\mathcal T}(V)\), alors
\[\tau(E_{i,j}) = \tau(E_{i,i} E_{i,j}) = \tau(E_{i,j} E_{i,i}) = 0.\]Par ailleurs, \(E_{i,j} E_{j,i} = E_{i,i}\) et \(E_{j,i} E_{i,j} = E_{j,j}\), donc
\[\tau(E_{i,i}) = \tau(E_{i,j} E_{j,i}) = \tau(E_{j,i} E_{i,j}) = \tau(E_{j,j}) =: \lambda \in K.\]Ainsi, si \(u \in \mathrm{End}(V)\), on écrit \(u = \sum \limits_{i,j=1}^n u_{i,j} E_{i,j}\) de sorte que
\[\tau(u) = \sum \limits_{i,j=1}^n u_{i,j} \tau(E_{i,j}) = \lambda \sum \limits_{i=1}^{n} u_{i,i}.\]Pour conclure, il suffit de vérifier que \(u \in \mathrm{End}(V) \longmapsto \sum \limits_{i=1}^{n} u_{i,i}\) est bien un élément de \(\mathcal{T}(V)\). \qed
Enfin, si \(\tau \in \mathcal{T}(V)\), alors \(\tau\) est constante sur chaque classe de conjugaison. En particulier, comme les projecteurs de rang \(1\) sont tous conjugués, ils ont tous la même image par \(\tau\).
Par produit tensoriel
Soit \(V\) et \(W\) deux espaces vectoriels, Le produit tensoriel de \(V\) par \(W\) est un espace vectoriel (on admet qu’il existe et qu’il est unique à isomorphisme près), noté \(V \otimes W\), muni d’une application bilinéaire canonique
\[\otimes : (v,w) \in V \times W \longmapsto v \otimes w \in V \otimes W\]qui vérifie la propriété universelle suivante : pour tout espace vectoriel \(Z\), toute application bilinéaire \(b : V \times W \rightarrow Z\), il existe une unique application linéaire \(\varphi : V \otimes W \rightarrow Z\) telle que
\[\varphi(v \otimes w) = b(v,w).\]Autrement dit, on a un isomorphisme naturel \(\mathrm{Bil}(V,W;Z) \cong \mathcal{L}(V \otimes W,Z)\) : définir une application linéaire sur \(V \otimes W\) revient exactement à définir une application bilinéaire sur \(V \times W\). On rappelle aussi que si \(V\) et \(W\) sont de dimension finie, alors \(V \otimes W\) aussi et \(\dim(V \otimes W) = \dim(V) \dim(W)\). On peut s’en convaincre en comparant les dimensions :
\[\dim \big( \mathrm{Bil}(V,W;Z) \big) = \dim(V) \dim(W) \dim(Z) \qquad \text{et} \qquad \dim \big( {\mathcal L}(V \otimes W, Z) \big) = \dim(V \otimes W) \dim(Z).\]Proposition. Pour un espace vectoriel \(V\) de dimension finie, on a une identification canonique \(V \otimes V^* \cong \mathrm{End}(V)\).
Démonstration. On a une application bilinéaire naturelle
\[(v, \mu) \in V \times V^* \longmapsto \Big( x \in V \mapsto \mu(x) v \in V \Big) \in \mathrm{End}(V).\]Par la propriété universelle du produit tensoriel, il lui correspond une application linéaire \(\Phi : V \otimes V^* \rightarrow \mathrm{End}(V)\). L’application \(\Phi\) est surjective, en effet, si \((e_1, \ldots, e_n)\) est une base de \(V\), on note \((e^1, \ldots, e^n)\) sa base duale. On peut alors vérifier que
\[\forall u \in \mathrm{End}(V), \qquad u = \Phi \Big( \sum \limits_{i=1}^{n} u(e_i) \otimes e^i \Big).\]Et donc, par égalité des dimensions, \(\Phi\) est en fait un isomorphisme. \qed
On dispose aussi d’une application bilinéaire naturelle
\[(v, \mu) \in V \times V^* \longmapsto \mu(v) \in K.\]Par la propriété universelle du produit tensoriel, il lui correspond une forme linéaire \(\tau : V \otimes V^* \rightarrow K\). Et donc, sous l’identification \(V \otimes V^* \cong \mathrm{End}(V)\), \(\tau\) est exactement l’application trace de \(\mathrm{End}(V)\).
Vers la dimension infinie
Ces différentes approches amènent plusieurs généralisations possibles du concept de trace en dimension infinie.
Approche cyclique. Si \(V\) est un espace de dimension infinie, la condition de “renormalisation” de la trace par les projecteurs de rang \(1\) n’a plus de sens : certains projecteurs peuvent être des commutateurs (auquel cas, leur trace serait nulle). Par exemple, sur \(\mathbb{R}[X]\), la projection sur le coefficient constant est un commutateur.
De façon générale, \(\mathrm{End}(V)\) peut être remplacée par une algèbre \(A\), mais alors l’ensemble des formes linéaires cycliques sur \(A\) n’est plus nécessairement une droite vectorielle. Par exemple, \(A = {\mathcal C}^0 \big( [0,1], \mathbb{C} \big)\) est une algèbre commutative, donc toutes les formes linéaires sur \(A\) sont cycliques. Cette observation donne lieu à la notion de trace des \(C^*\)-algèbres.
Approche tensorielle. Si \(V\) est de dimension infinie, alors l’identification \(V \otimes V^* \cong \mathrm{End}(V)\) n’est plus valable. À la place, \(V \otimes V^*\) s’identifie au sous-espace de \(\mathrm{End}(V)\) constitué des endomorphismes de rang fini – pour ces endomorphismes, la notion de trace définie précédemment est encore bien définie. Si on souhaite dépasser les endomorphismes de rang fini, il faut ajouter de la structure, typiquement de la topologie. Prenons l’exemple des espaces de Hilbert où les endomorphismes considérés sont les endomorphismes continus (ou opérateurs bornés) : pour un espace de Hilbert \(\mathcal{H}\), on notera \(\mathcal{B}(\mathcal{H})\) l’ensemble de ces opérateurs. Si \(\mathcal{H}_1\) et \(\mathcal{H}_2\) sont deux espaces de Hilbert, leur produit tensoriel algébrique \(\mathcal{H}_1 \otimes_{\mathrm{alg}} \mathcal{H}_2\) peut être muni du produit hermitien défini sur les tenseurs simples par
\[\langle a_1 \otimes a_2,\, b_1 \otimes b_2 \rangle = \langle a_1, b_1 \rangle_{\mathcal{H}_1}\, \langle a_2, b_2 \rangle_{\mathcal{H}_2}.\]La complétion de l’espace \(\mathcal{H}_1 \otimes_{\mathrm{alg}} \mathcal{H}_2\) (pour la norme hermitienne induite) est un espace de Hilbert, noté \(\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2\). Alors, l’espace \(\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}^*\) (où \({\mathcal H}^*\) désigne le dual continu de \({\mathcal H}\)) s’identifie à l’espace \(\mathcal{B}_2(\mathcal{H})\) des opérateurs de Hilbert–Schmidt : ce sont les opérateurs bornés \(T : \mathcal{H} \to \mathcal{H}\) pour lesquels il existe une base hilbertienne \((e_n)\) telle que \(\sum_n \lVert T e_n \rVert^2 < +\infty\) (et alors cette condition ne dépend pas du choix de la base hilbertienne). Cependant, pour un opérateur de rang fini \(T\), la trace est aussi donnée par la formule diagonale
\[\mathrm{Tr}(T) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \langle T e_n, e_n \rangle,\]où \((e_n)\) est une base hilbertienne de \(\mathcal{H}\). Cette série converge absolument dans le cas d’un opérateur de rang fini. Cette série peut être divergente pour certains opérateurs de \(\mathcal{B}_2(\mathcal{H})\), par exemple celui défini par \(T e_n = \tfrac{1}{n} e_n\).
Ainsi, le produit tensoriel hilbertien mène naturellement aux opérateurs de Hilbert-Schmidt, mais cet espace est encore trop “gros” pour porter une trace au sens usuel. La bonne classe est celle des opérateurs de classe trace, notée \(\mathcal{B}_1({\mathcal H})\) pour lesquels la série
\[\mathrm{Tr}(T) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \langle T e_n, e_n \rangle.\]converge absolument et ne dépend pas du choix de la base hilbertienne orthonormée.
La situation devient encore plus délicate pour les espaces de Banach : Si \(E\) et \(F\) sont deux espaces de Banach, le produit tensoriel algébrique \(E \otimes_{\mathrm{alg}} F\) n’est pas muni d’une norme canonique (contrairement aux espaces de Hilbert). Il existe plusieurs notions de produit tensoriel (notamment le produit tensoriel projectif ou le produit tensoriel injectif) correspondant à un choix différent de norme sur cet espace et les complétions donnent des espaces en généralement très différents.