[FR] Limites inductive et projective -- Deux objets limites différents
Quand on parle de limite d’une suite de nombres, on a l’impression qu’il y a une seule notion naturelle de limite. Mais dès qu’on remplace les nombres par des objets plus riches – ensembles, espaces vectoriels, anneaux, corps – la situation devient plus subtile.
Supposons qu’on ait une famille d’objets \(A_0, A_1, \cdots\), la question “quel est l’objet limite ?” n’a pas de réponse sans préciser comment ces objets sont reliés entre eux. Deux situations apparaissent souvent.
Première situation : \(A_0 \longrightarrow A_1 \longrightarrow \cdots\). On agrandit l’objet étape par étape. L’objet limite est alors naturellement l’union, ou plus généralement une limite inductive.
Deuxième situation : \(\cdots \longrightarrow A_1 \longrightarrow A_0\). On a des objets de plus en plus “précis”, mais chacun peut être projeté vers une approximation plus grossière. L’objet limite est alors formé de toutes les approximations compatibles : c’est une limite projective.
Premiers exemples
Union et intersection d’ensembles. Soit \(\Omega\) un ensemble et \((A_i)_{i \in I}\) une famille de parties de \(\Omega\). On a les deux notions d’objets limites : \(\bigcup \limits_{i \in I} A_i\) et \(\bigcap \limits_{i \in I} A_i\). Le premier est le plus petit ensemble qui contient tous les \(A_i\), c’est une limite inductive : chaque \(A_i\) s’envoie naturellement dans l’objet limite. À l’inverse, le second est le plus grand ensemble contenu dans tous les \(A_i\), c’est une limite projective : l’objet limite s’envoie naturellement dans chacun des \(A_i\).
Ainsi, même dans un exemple aussi élémentaire, deux notions de limites apparaissent déjà :
\[\boxed{\text{union = limite inductive}} \qquad \text{et} \qquad \boxed{\text{intersection = limite projective}}.\]Polynômes et séries formelles. On note \(\mathbb{R}_n[X]\) l’espace des polynômes de degré au plus \(n\). On distingue alors deux notions d’objets limites possibles : l’espace des polynômes \(\mathbb{R}[X]\) et l’espace des séries formelles \(\mathbb{R}[[X]]\).
L’espace \(\mathbb{R}[X]\) est le plus petit espace vectoriel qui contient tous les \(\mathbb{R}_n[X]\). En effet, on a des inclusions naturelles
\[\mathbb{R}_0[X] \hookrightarrow \mathbb{R}_1[X] \hookrightarrow \mathbb{R}_2[X] \hookrightarrow \cdots\]et \(\mathbb{R}[X] = \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{R}_n[X]\) : tout polynôme apparaît toujours dans l’un des \(\mathbb{R}_n[X]\). On écrit
\[\lim_{\rightarrow} \mathbb{R}_n[X] = \mathbb{R}[X].\]Mais on peut aussi relier les espaces \(\mathbb{R}_n[X]\) dans l’autre sens en tronquant le plus grand degré : \(\mathbb{R}_{n+1}[X] \twoheadrightarrow \mathbb{R}_n[X]\). Ainsi, un élément de la limite projective est une famille compatible \((P_0, P_1, \ldots)\) où \(P_n \in \mathbb{R}_n[X]\) est la troncature de \(P_{n+1}\). Une telle famille compatible est exactement la même donnée qu’une série formelle. D’où,
\[\lim_{\leftarrow} \mathbb{R}_n[X] = \mathbb{R}[[X]].\]La différence entre \(\mathbb{R}[X]\) et \(\mathbb{R}[[X]]\) résume parfaitement la différence entre les deux constructions.
Le mécanisme algébrique général
On peut distinguer ces deux notions sans employer beaucoup de vocabulaire abstrait (de la théorie des catégories). Il suffit de regarder comment se comportent les fonctions.
Limite inductive. Supposons qu’on ait un système dit inductif
\[A_0 \longrightarrow A_1 \longrightarrow A_2\longrightarrow \cdots\]et un objet \(A\) avec des applications \(A_n \longrightarrow A\). Dire que \(A\) est une limite inductive (ou colimite) signifie que la donnée d’une fonction depuis \(A\) est la même chose qu’une famille compatible de fonctions depuis chaque \(A_n\). Dans le cas de l’union, définir une application sur \(\bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}} A_n\) revient à donner une famille d’applications sur chaque \(A_n\), à condition que ces applications coïncident sur les recouvrements. De même, dans le cas des polynômes, définir une application linéaire sur \(\mathbb{R}[X]\) revient à donner une famille d’applications linéaires sur chaque \(\mathbb{R}_n[X]\), à condition que ces applications soient compatibles avec chaque restriction à des degrés inférieurs.
Limite projective. Supposons qu’on ait un système dit projectif
\[\cdots \longrightarrow A_2 \longrightarrow A_1 \longrightarrow A_0.\]et un objet \(A\) avec des applications \(A \longrightarrow A_n\). Dire que \(A\) est une limite projective (ou limite) signifie que la donnée d’une fonction vers \(A\) est la même chose qu’une famille compatible de fonctions vers chaque \(A_n\). Dans le cas des séries formelles, donner une application vers \(\mathbb{R}[[X]]\) revient à donner toutes les troncatures finies, i.e. les applications compatibles vers chaque \(\mathbb{R}_n[X]\).
Pour aller plus loin : des exemples plus avancés
L’anneau \(\mathbb{Z}_p\) des entiers $p$-adiques. Fixons un nombre premier \(p\). On considère les anneaux finis \(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) et on a des projections naturelles \(\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) données par la réduction modulo \(p^n\). On a alors un système projectif
\[\cdots \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.\]La limite projective est l’anneau \(\mathbb{Z}_p\) des entiers \(p\)-adiques : un élément de \(\mathbb{Z}_p\) est la donnée d’une suite \((a_n)_{n \geqslant 1}\) où \(a_n \in \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}\) telle que \(a_{n+1} \equiv a_n \mod(p^{n})\). En fait, par analogie avec les séries formelles, on a même une représentation sous forme de série des éléments de \(\mathbb{Z}_p\) :
\[a = \sum \limits_{n=0}^{+\infty} b_n p^n \in \mathbb{Z}_p.\]avec \(0 \leqslant b_i \leqslant p-1\) et où les sommes partielles donnent des éléments de \(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) qui correspondent aux approximations modulo \(p^n\) de $a$. La différence avec une série formelle est que, dans \(\mathbb{Z}_p\), cette série converge réellement, mais pour la norme $p$-adique. Ainsi,
\[\boxed{ \lim_{\leftarrow} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_p. }\]Le groupe quasi-cyclique de Prüfer. Reprenons la situation précédente, mais on donne cette fois les injections \(a \in \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \hookrightarrow pa \in \mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}\), on obtient alors un système inductif
\[\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z} \hookrightarrow \cdots\]Sa limite inductive est appelée le groupe de Prüfer $p$-primaire, ou encore le groupe quasi-cyclique $p$-primaire, noté $C_{p^{\infty}}$. Ce groupe est isomorphe au quotient \(\mathbb{Z} \Big[ \frac{1}{p} \Big]/\mathbb{Z}\), où \(\mathbb{Z} \Big[ \frac{1}{p} \Big]\) désigne les rationnels dont le dénominateur est une puissance de $p$. Une autre description peut être donnée en identifiant \(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) avec le sous-groupe \(\mathbb{U}_{p^n}\) des racines $p^n$-ièmes de l’unité. Alors, dans ce cas, \(C_{p^{\infty}} \cong \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{U}_{p^n}\) : chaque élément de \(C_{p^{\infty}}\) apparaît à un “étage fini”, en particulier, a un ordre fini, mais les ordres possibles ne sont pas bornés. En résumé,
\[\boxed{ \lim \limits_{\rightarrow} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} = C_{p^{\infty}} \cong \mathbb{Z} \Big[ \frac{1}{p} \Big]/\mathbb{Z}. }\]Nous avons mis de côté une nuance importante. La construction de \(\lim_{\leftarrow} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) donne un anneau tandis que \(\lim_{\rightarrow} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) donne seulement un groupe, pourquoi ? La subtitlité provient des applications entre \(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}\) : la projection \(\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) est bien un morphisme d’anneau et la construction donne un anneau, tandis que l’injection \(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}\) est seulement un morphisme de groupes (et pas un morphisme d’anneaux), la construction est donc reléguée à obtenir un groupe.
Cette remarque indique notamment que la structure des objets que l’on manipule n’est pas dictée par l’objet lui-même (ici en l’occurrence les \(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\)), mais bien par les morphismes que l’on considère. Une solution pédagogique est d’utiliser des notations différentes pour des objets munis de structures différentes, par exemple
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\(\mathbb{C}\) désigne un corps, pas \(\mathbb{R}^2\) non.
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\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) désigne un anneau, \(\mathbb{U}_n\) désigne le groupe cyclique d’ordre \(n\).
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\(\mathbb{F}_p\) désigne le corps à $p$ éléments, \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) désigne l’anneau associé.
Le formalisme mathématique qui cristallise ces différences est la théorie des catégories : les objets ne sont jamais considérés seuls, mais toujours avec les morphismes que l’on autorise entre eux.
Corps finis et clôture algébrique. On prend un corps fini \(\mathbb{F}_q\), où \(q = p^r\) est une puissance d’un nombre premier. Dans une clôture algébrique \(\overline{\mathbb{F}_q}\), il existe pour chaque entier \(k \geqslant 1\) un unique sous-corps à \(q^k\) éléments, noté \(\mathbb{F}_{q^k}\). On a alors
\[\mathbb{F}_{q^m} \subset \mathbb{F}_{q^n} \quad \Longleftrightarrow \quad m \mid n.\]Ainsi, les corps finis \((\mathbb{F}_{q^{n!}})_{n \geqslant 1}\) forment un système inductif (car \(n!\) divise \((n+1)!\)). La limite inductive de ce système est la clôture algébrique de \(\mathbb{F}_q\), concrètement,
\[\overline{\mathbb{F}_q} = \lim_{\rightarrow} \mathbb{F}_{q^{n!}} = \bigcup \limits_{n \geqslant 1} \mathbb{F}_{q^{n!}}.\]En effet, tout élément de \(\overline{\mathbb{F}_q}\) est algébrique sur \(\mathbb{F}_q\), donc appartient à une extension finie de \(\mathbb{F}_q\). Or toute extension finie de \(\mathbb{F}_q\) est de la forme \(\mathbb{F}_{q^d}\). Comme \(d\) divise \(n!\) pour $n$ assez grand, on a \(\mathbb{F}_{q^d} \subset \mathbb{F}_{q^{n!}}\). Ainsi, chaque élément de \(\overline{\mathbb{F}_q}\) apparaît déjà à un “étage” fini de cette chaîne. Autrement dit,
Ici, la limite inductive est naturelle. En revanche, il n’existe pas de limite projective analogue pour les corps. La raison est simple : un morphisme de corps est forcément injectif. On ne peut donc pas “projeter” un grand corps fini vers un plus petit corps fini, comme on tronque une série formelle.
La limite projective réapparaît plutôt du côté des groupes de Galois. Les corps \(\big( \mathbb{F}_{q^{n!}} \big)\) s’agrandissent par inclusions, mais leurs groupes de Galois d’automorphismes se restreignent. On obtient alors
\[\mathrm{Gal} \big( \overline{\mathbb{F}_q}/\mathbb{F}_q \big) = \lim_{\leftarrow} \mathrm{Gal} \big( \mathbb{F}_{q^{n!}}/\mathbb{F}_q \big).\]Et comme \(\mathrm{Gal} \big( \mathbb{F}_{q^N}/\mathbb{F}_q \big) \cong \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\) et on retrouve le groupe profini
\[\mathrm{Gal} \big( \overline{\mathbb{F}_q}/\mathbb{F}_q \big) \cong \widehat{\mathbb{Z}}.\]Ainsi, les corps finis donnent un exemple très parlant : la clôture algébrique est naturellement un objet inductif, tandis que son groupe de symétries est naturellement projectif.